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ECC算法

发表于 更新于

对TLS1.3中用到的ECC相关算法，比如ECDH, ECDSA, X25519等进行一下基础说明，起码知道group、curve之类的是什么意思。

1. 椭圆曲线(Elliptic Curves)

椭圆曲线的Weierstrass标准形式：
$$ y^2 = x^3 + ax + b $$
$$ 4a^3 + 27b^2 != 0 $$

定义0表示椭圆曲线上的无限远点，这样组成的椭圆曲线是这样的：
$$ \left{ (x, y) \in \mathbb{R}^2\ |\ y^2 = x^3 + ax + b,\ 4 a^3 + 27 b^2 \ne 0 \right}\ \cup\ \left{ 0 \right} $$

2. 群(Group)

$\mathbb{G}$是一个集合，在集合中定义一个对两个元素的操作，记为"加",用+表示，集合中两个元素a和b,"加"操作表示为$a+b$，如果$a+b$这个操作满足一下4个特性，$\mathbb{G}$就是一个群(Group):

  • 闭合性closure: a, b是$\mathbb{G}$的元素，$a+b$也是；
  • 结合性associativity: $(a+b)+c=a+(b+c)$
  • 存在单位元identity element 0, 有$a+0=0+a=a$
  • 每个元素都有一个相反数，对每个元素a都存在b使$a+b=0$, b就是a的相反数，可以表示为$-a$

如果再加一条特性：

  • 交换律：$a+b=b+a$
    这样的群就要阿贝尔群(Abelian Group)

这个”加+”操作，也可以用”乘*”来表示，这个操作只是表示集合上两个元素的一个操作，此时

  • $a \cdot b$ 也是 $\mathbb{G}$ 上的一个元素；
  • $(a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c)$
  • 单位元1， $a \cdot 1=1 \cdot a=a$
  • $a \cdot b=1$， b可以表示为$a^{-1}$

在讨论ECC的时候，一些旧的文献通常用+，新的通常用*，另外，在密码学中讨论加密强度的时候，通常按照指数(幂)、读书来讨论，比如长听到取离散对数问题。本文都用+来表示。

3. 椭圆曲线上的群

可以定义一个在椭圆曲线上的群$\mathbb{G}$：

  • 一个椭圆曲线上的点是$\mathbb{G}$中的元素;
  • 单位元定义为无穷远处的点0
  • 一个点P的相反数是关于x轴对称的点
  • 加定义为： $P, Q, R$是斜率相同的点(一条直线跟椭圆曲线相交的3个点)，有$P+Q+R=0$

这样就有$R=-(P+Q)$，如果要用计算机去算，需要转换成代数的方法计算R的x,y坐标
记
$$P=(x_P, y_P), Q=(x_Q, y_Q), R=(x_R, y_R)$$
则:
$$m = \frac{y_P - y_Q}{x_R - x_Q}$$
$$x_R = m^2 - x_P - x_Q$$
$$y_R = y_P + m(x_R - x_P)$$
这样，就能根据$P, Q$算出$R$了。

4. 标量乘法

$$nP = \underbrace{P + P + \cdots + P}_{n\ \text{times}}$$
叫做标量乘法.
有个快速算法：double and add，
比如 $n = 151$， 用2进制表示为$10010111b$，然后
$$\begin{array}{rcl}
151 & = & 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 \
& = & 2^7 + 2^4 + 2^2 + 2^1 + 2^0
\end{array}$$
就可以很方便的用计算机去算了。

5. 对数

对$Q=nP$,如果知道$n$和$P$，可以很容易算出$Q$(double and add)， 但如果知道$Q$和$P$，却很难算出$n$——数学上没有很快的算法。
如果用*来表示，那就是$Q=P^n$,知道$Q$和$P$，很难算出指数$n$，这就是取对数难题，也是密码学中的基石。

6. 有限域(Finite Field)

有限域，就是域中元素是有限个数的域，整个实数域是无限的，如果对实数取$ \text{ mod } p$，就可以得到元素个数为p的有限域了，
域中多一个操作乘，符合结合律：$x \cdot (y+z)=x \cdot y+x \cdot z$

先了解mod运算
$$(18+9) \text{ mod } 23=4$$
$$-5 \text{ mod } 23 = 18$$
$$9^{-1} \text{ mod } 23 = 18$$
因为在域23上，$9^{-1} = 18$(因为 $9 \cdot 18 \text{ mod } 23 = 1, 9 \cdot 9{^-1} mod 23 = 1$, 域上1个元素有且只有1个倒数，所以$9^{-1} = 18$，9的倒数是18)

7. mod p 除法

要计算$\frac{x}{y}$，需要计算$x \cdot y^{^-1}$,也是就是我们要先找到y的倒数，然后再乘上x
取一个数的倒数用扩展欧几里得算法可以很简单算出来。

8. 有限域$GF(p)$中的椭圆曲线

先前的椭圆曲线是实数域上的，现在挑选其中在有限域$GF(p)$上的点，就组成了椭圆曲线上的有限域——或者有限域上的椭圆曲线。

9. 有限域上的椭圆曲线的加法

还是$P+Q+R=0$，但$P，Q, R$在有限域上怎么斜率相同呢？——在一条直线上即可。但有限域上的直线跟是实数域上有些不同，只要有限域中的点$(x,y)$符合$ax+by+c ( \text{ mod } p) = 0 ( \text{ mod } p)$，就说这些点在同一条直线上——这样的直线画出来可能有很多并行的条，都算同一条直线。

这样，有限域上的加法用计算机计算，公式是这样的
$$x_R = (m^2-x_P-x_Q) \text{ mod } p$$
$$y_R = [y_P + m(x_R-x_P)] \text{ mod } p = [y_Q + m(x_R-x_Q)] \text{ mod } p$$

这样就可以用计算机计算$P + Q = R$了

10. 一个椭圆曲线群的阶order

首先，一个群上的点的元素个数，叫做这个群的阶。
定义在一个有限域上的一个椭圆曲线的元素个数是多少呢？有个快速的算法可以计算: Schoof’s algorithm。可以方便计算椭圆曲线在有限域上的元素个数。

11. 标量乘法和曲线子群

标量乘法是这样的
$$n P = \underbrace{P + P + \cdots + P}_{n\ \text{times}}$$
但在有限域上，我们可以想象出
$1P$
$2P$
$3P$
$…$
得出的结果最终会形成一个循环，而且循环中的所有结果都在有限域上，这样，我们根据$P$生成了一个曲线子群，$P$就叫做这个子群的生成因子后者基准点。曲线子群就是ECC和其他加密系统的基础。

现在我们梳理一下：

  • 一开始我们有实数群$\mathbb{G}$,
  • 我们取椭圆曲线，得出椭圆曲线上的点，形成一个小一点的群
  • 接着定义有限域，然后将椭圆曲线限制到有限域上，这样框出来的椭圆曲线上的点，形成一个更小一点的群
  • 最后，我们取其中一个点作为基准点，取基准点的向量倍数，生成一个再小一点的子群，这个群，就是我们的ECC要用的群了。

12. 子群的阶

我们想知道，由基准点$P$生成的子群的阶是多少。现在不能用Schoof’s算法，它是工作在整个椭圆曲线上，而不是其中的一个子群。
要算子群的阶，需要知道：

  1. 子群的阶就是子群中的元素个数，等价于 $nP=0$，其$n$是正整数，且$n$是其中最小的1个，这个$n$就是子群的阶。
  2. 根据拉格朗日定理，子群$P$的阶，是父群阶的一个因子，比如一个椭圆曲线有$N$个元素，它的一个子群有$n$个元素，$n$能整除$N$

接着我们开始算子群P的阶：

  1. 用Schoof's算法计算椭圆曲线的阶$N$
  2. 找出$N$的所有因子
  3. 对$N$的每一个因子$n$，计算$nP$
  4. 找出使$nP=0$的最小的$n$，这个$n$就是子群的阶.

比如对$GP(37)$有限域上的椭圆曲线 $y^2 = x^3 - x + 3$, 它的阶$N=42$，子群可能有的阶$n = 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42$, 如果我们取基准点$P = (2, 3)$，那么
$$P != 0, 2P !=0, 3P != 0, 6P!= 0, 7P=0$$
那么就说，$P$的阶是$n = 7$

13. 找一个基准点

对ECC算法来说，我们希望子群拥有更高的阶。
我们先计算椭圆曲线的阶$N$，找一个比较大的因子$n$，然后根据$n$找出一个合适的基准点。
也就是说，我们先找子群的阶，再根据子群的阶找其中的基准点。而不是先找基准点，再算子群的阶。

再加一个信息：根据拉格朗日定理，$h = N/n$肯定是个整数（因为$n$是$N$的一个因子）。这个$h$叫做子群的协因子(cofactor).

对一个椭圆曲线上的任意一点来说， $NP = 0$,因为$N$总是任何一个$n$的倍数；
也就是 $n(hP) = 0$
取$n$是素数，点$G = hP$生成一个阶为$n$的子群。
这样，我们就根据选择的阶$n$，算出了一个基准点。

14. 离散对数

在连续的椭圆曲线上，我们如果知道$P$和$Q$很难算出$k$，使得$Q = kP$，
那么，
在有限域上的椭圆曲线，这个也是很多难的，叫做椭圆曲线的离散对数问题。

ECC有意思的一点是，这个离散对数问题“更难”，也就是要达到相同的加密强度，$k$的位数可以更少。这也是有RSA，还有开发ECC的原因。

15. 定义一个ECC的域需要的参数

  1. 有限域的大小是个素数$p$
  2. 椭圆曲线中的系数$a,b$
  3. 子群基准点$G$
  4. 子群的阶$n$
  5. 子群的协因子$h$

所以，定义一个我们ECC需要的问题域需要6个因子$（p, a, b , G, n, h）$

16. 随机曲线

并不是所有的椭圆曲线上的离散对数都那么难，比如$p = hn$的椭圆曲线就可以用Smart方法攻击。而且我们也不知道还有没有哪些椭圆曲线的攻击方法我们没发现。
一个更具密码学强度的方法是，我们选一个随机因子$S$，对$S$取hash，然后衍生出$a、b$或者$G$，或者两者都用$S$生成，那么攻击者就不知道我们用的是什么参数，会更安全些。
但是，NIST规定了一些$S$，我们也不知道$S$是不是精心挑选的。。。。。。

17. ECC算法

  1. 私钥就是从$[1,n-1]$($n$是子群的阶)中随机挑选的一个整数$d$
  2. 公钥就是点$H = dG$($G$是子群的基准点)

知道$d$和$G$，算出$H$很简单，但反过来就很难。
这是个非对称加密算法，基于此，衍生出两个算法ECDH（用于密钥交换），ECDSA（用于签名）

18. ECDH

  1. Alice和Bob各自生成自己的公私钥，Alice的私钥是$d_A$, 公钥是$H_A = d_A \cdot G$，Bob的是$d_B$和$H_B=d_B \cdot G$。注意Alice和Bob用的是同一个有限域上的同一个椭圆曲线的同一个基准点$G$
  2. Alice和bob在一个未加密的通道上交换公钥$H_A$和$H_B$,
  3. Alice计算$S = d_A \cdot H_B$, Bob计算$S = d_B \cdot H_A$, 两个计算出来的$S$是一样的

这样Alice和Bob就得出了同一个$S$，就可用于对称加密了。

一个例子

  • $p$ = 0xffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff fffffffe fffffc2f
  • $a$ = 0
  • $b$ = 7
  • $x_G$ = 0x79be667e f9dcbbac 55a06295 ce870b07 029bfcdb 2dce28d9 59f2815b 16f81798
  • $y_G$ = 0x483ada77 26a3c465 5da4fbfc 0e1108a8 fd17b448 a6855419 9c47d08f fb10d4b8
  • $n$ = 0xffffffff ffffffff ffffffff fffffffe baaedce6 af48a03b bfd25e8c d0364141
  • $h$ = 1
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    Curve: secp256k1
    Alice's private key: 0xe32868331fa8ef0138de0de85478346aec5e3912b6029ae71691c384237a3eeb
    Alice's public key: (0x86b1aa5120f079594348c67647679e7ac4c365b2c01330db782b0ba611c1d677, 0x5f4376a23eed633657a90f385ba21068ed7e29859a7fab09e953cc5b3e89beba)
    Bob's private key: 0xcef147652aa90162e1fff9cf07f2605ea05529ca215a04350a98ecc24aa34342
    Bob's public key: (0x4034127647bb7fdab7f1526c7d10be8b28174e2bba35b06ffd8a26fc2c20134a, 0x9e773199edc1ea792b150270ea3317689286c9fe239dd5b9c5cfd9e81b4b632)
    Shared secret: (0x3e2ffbc3aa8a2836c1689e55cd169ba638b58a3a18803fcf7de153525b28c3cd, 0x43ca148c92af58ebdb525542488a4fe6397809200fe8c61b41a105449507083)

PS：每次都生成新的公私钥，就叫ECDHE，E表示Ephermeral，瞬时的，短暂的

19. ECDSA

Alice使用私钥$d_A$签名消息，Bob使用Alice的公钥$H_A$验签。
ECDSA需要对消息的摘要进行签名，而不是对任意长度的消息签名。消息摘要需要截断到跟子群的阶$n$一样长度的位数，截断的摘要用作为一个整数$z$

签名:

  1. 从$[1,n-1]$($n$是子群的阶)中随机选择一个整数$k$
  2. 计算$P=kG$（$G$是子群的基准点）
  3. 计算$r = x_P \text{ mod } n$($x_P$是$P$的x坐标)
  4. 如果$r=0$，重新选择$k$
  5. 计算$s = k^{-1}(z + r \cdot d_A) \text{ mod } n$（$d_A$是Alice的私钥，$k^{-1}$是$k$的乘法倒数 mod n）
  6. 如果$s=0$，重新选择$k$

$(r,s)$组成的对儿就是签名

验签：

  1. 计算$u_1 = s^{-1} \cdot z \text{ mod } n$
  2. 计算$u_2 = s^{-1} \cdot r \text{ mod } n$
  3. 计算点$P = u_1G+u_2H_A$
    如果$r = x_P \text{ mod } n$， 就说明签名正确

例子

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Curve: secp256k1
Private key: 0x9f4c9eb899bd86e0e83ecca659602a15b2edb648e2ae4ee4a256b17bb29a1a1e
Public key: (0xabd9791437093d377ca25ea974ddc099eafa3d97c7250d2ea32af6a1556f92a, 0x3fe60f6150b6d87ae8d64b78199b13f26977407c801f233288c97ddc4acca326)

Message: b'Hello!'
Signature: (0xddcb8b5abfe46902f2ac54ab9cd5cf205e359c03fdf66ead1130826f79d45478, 0x551a5b2cd8465db43254df998ba577cb28e1ee73c5530430395e4fba96610151)
Verification: signature matches

Message: b'Hi there!'
Verification: invalid signature

Message: b'Hello!'
Public key: (0xc40572bb38dec72b82b3efb1efc8552588b8774149a32e546fb703021cf3b78a, 0x8c6e5c5a9c1ea4cad778072fe955ed1c6a2a92f516f02cab57e0ba7d0765f8bb)
Verification: invalid signature

参考：

  1. https://andrea.corbellini.name/2015/05/17/elliptic-curve-cryptography-a-gentle-introduction/ : 这个系列非常好，基本是翻译了这篇原文.
  2. RFC8442-Elliptic Curve Cryptography (ECC) Cipher Suites for Transport Layer Security (TLS) Versions 1.2 and Earlier: 定义了TLS1.2及以前的协议使用的ECC曲线都有哪些，比如X25591,secp256r1等.
  3. RFC7748-Elliptic Curves for Security: 具体定义了X25519,X448曲线算法.
  4. RFC6090-Fundamental Elliptic Curve Cryptography Algorithms: ECC基本定义.
  5. Elliptic Curve Cryptography: openssl对ECC的解释，简单明了，值得一看